Ejemplos de cálculos para centrifugadoras

Para determinar las características de diseño básicas de una centrifugadora de precipitación examinamos la parte de forma cilíndrica de rotor con una longitud (L) y un radio interior (R), a través del cual fluye líquido con capa con un espesor (h) y un consumo Q. Denotamos con (r) el radio interior del anillo de líquido formado. Introducimos un valor de velocidad de flujo promedio a lo largo del eje del rotor (V_ej), que puede ser presentado como un consumo de suspensión volumétrico dividido por el área de sección transversal de flujo perpendicular al eje del rotor (F):

v_ej = Q/F = Q/(2· π ·h·r_med)

donde:
r_med = (R+r)/2 – el radio medio de la capa de líquido, m.

Además, como en el caso de una simple precipitación, determinamos la velocidad de precipitación de las partículas de la zona más desfavorable para precipitación - la superficie interior del anillo de líquido. En otras palabras, de las partículas más lejanas de la superficie interior del rotor, que sirve como su zona de precipitación. Se puede expresar esta velocidad (V_rad) con la misma velocidad de precipitación de una partícula similar en el campo gravitacional (V_g), calculada por la ley de Stokes:

V_g = [d²·(ρ_s-ρ_l)·g] / (18·μ)

donde:
d – el diámetro de una particula, m;
ρ_s – la densidad de una particula, kg/m³;
ρ_l – la densidad de líquido, kg/m³;
g – la aceleración de la gravedad, m/s²;
μ – la viscosidad dinámica de líquido, Pa·s.

La relación entre la velocidad de precipitación en el campo gravitacional y el campo de fuerza centrífuga se realiza con el número de Froude de acuerdo con la fórmula:

V_rad = (v_g/g) · Fr

donde:
Fr = (ω²·R)/g – el número de Froude;
ω – la velocidad angular del rotor, s^-1.

Similar al caso de sedimentación convencional, para la separación completa de la fase dispersada también se necesitará igualdad del tiempo de precipitación de las partículas más distantes de paredes laterales (τ_se) y el tiempo de su estancia en la centrifugadora (τ_e):

τ_se = τ_e

Esta ecuación puede ser presentada en la forma diferente:

L/v_se= h/v_rad

Seguimos cambiando las variables según las ecuaciones previamente definidas:

(L·2·π·h·r_med)/Q = (h·g)/(v_g·Fr)

Típicamente, el espesor de la capa de líquido en una centrifugadora es baja, por lo que podemos asumir que R = r_med. Entonces podemos hacer la sustitución, donde F es la zona de precipitación de la centrifugadora. A continuación, se deriva la ecuación de consumo de la centrífugadora de precipitación:

Q = (F·v_g·Fr)/g

No obstante, en la práctica a menudo se produce una pluralidad de factores difíciles de considerar durante el cálculo de centrifugadoras que, sin embargo, pueden tener una influencia significativa, por lo que en la ecuación para Q se añade normalmente el coeficiente β, teniendo en cuenta los factores específicos para los diferentes casos:

Q = β·[(F·v_g·Fr)/g]

El valor F·Fr a menudo se sustituye por el valor Σ (índice de rendimiento). Fue establecido experimentalmente que el índice de rendimiento también depende del régimen de flujo de líquido:

Σ = F·Fr – laminar;
Σ = F·Fr^0,73 – transitorio;
Σ = F·Fr^0,5 – turbulento.

Entonces el régimen de flujo más preferido, que ofrece el índice de rendimiento más alto, es laminar.

Cálculos para centrifugadoras de filtro

Al igual como en el caso de centrifugadoras de precipitación, el cálculo para centrifugadoras de filtro tiene una serie de conformidades generales con el cálculo para los filtros debido al principio de la operación similar. Sin embargo, el proceso llevado a cabo en el campo de fuerza centrífuga produce una serie de diferencias.

La ecuación general para la determinación de rendimiento teórico de centrifugadoras es la siguiente:

Q = a·Σ

donde:
Q – el rendimiento de la centrifugadora, m³/s;
a – el coeficiente de corrección que depende del tipo de la centrifugadora (para una centrifugadora de filtro este coeficiente es sustituido por una constante de filtración k, determinada empíricamente);
Σ – el índice de rendimiento.

A su vez, el índice de rendimiento para la centrifugadora se calcula como sigue:

Σ = F_med·K_med

donde:
F_med = 2·π·L·(R+r) – la superficie media de separación, m²;
L – la longitud del cilíndro, m;
R – el radio interior del rotor de la centrifugadora, m;
r – el radio interior del anillo de la suspensión en la centrifugadora, m;
K_med = [ω²·(R+r)] / [2·g] – el factor medio de separación de la centrifugadora;
ω – la velocidad angular del rotor de la centrifugadora, s^-1;
g – la aceleración de la gravedad, m/s².

Sin embargo, el rendimiento real es a menudo difierente hacia abajo del teórico debido a la influencia de factores, tales como la presencia de deslizamiento de la capa de  líquido con respecto al cilíndro de la centrifugadora, etc. Para tener en cuenta estos factores en la ecuación de consumo de la centrifugadora de filtro se introduce el coeficiente de corrección (ζ), llamado el factor de eficacia. Por lo tanto, la ecuación final de consumo es la siguiente:

Q = ζ·a·Σ

El cálculo de consumo de centrifugadoras de filtro de operación periódica se realiza con otra fórmula:

Q = a·√τ_tr·V_tr·Σ

donde:
a – el coeficiente de corrección que caracteriza la resistencia de asiento;
τ_tr – el tiempo de trabajo de alimentación de suspensión, s;
V_tr = π·L·(R²-r²) – la capacidad volumétrica de trabajo del cilíndro, m³.

Para lograr el máximo rendimiento medio de centrífuga de filtro el valor τ_tr se toma igual a la suma de tiempo dedicado a la realización de los procesos de centrifugación (τ_cen) y descarga de asiento (τ_da):

Τ_tr = τ_cen+τ_da

Al calcular centrifugadoras de energía distinguen la potencia de arranque (N_ar) y la potencia durante el período de trabajo (N_pt). La potencia de arranque es la suma de los valores siguientes:

N_ar = N_i+N_coj+N_a [kW]

donde:
N_i – la potencia de la centrifugadora al inicio, W;
N_coj – la potencia gastada en las pérdidas de fricción en los cojinetes, W;
N_a – la potencia gastada en fricción aérea del cilíndro, W.

A su vez, la potencia del período de trabajo consta de los siguientes componentes:

N_ar = N_l+N_s+N_coj+N_a; [kW]

donde:
N_l – la potencia de la centrifugadora gastada para una energía cinética transmitida a una suspensión en fase líquida, W;
N_s – la potencia de la centrifugadora gastada para una energía cinética transmitida a una suspensión en fase sólida, W.

La potencia consumida al inicio tiene en cuenta todos los momentos de inercia que surgen durante el arranque de la centrifugadora:

N_i = (I·ω²) /(2·10³·τ_ar); [kW]

donde:
I – el momento de inercia total del rotor y la carga con respecto al eje de rotación, kg·m²;
ω – la velocidad angular del rotor de la centrifugadora, s^-1;
τ_ar – el tiempo de arranque de la centrifugadora, s.

La potencia perdida debido a la fricción de los cojinetes:

N_coj = [f·ω·Σ(P·d)] / [2·10³]; [kW]

donde:
f – el coeficiente de fricción de los cojinetes;
Σ(P·d) – la multiplicación de productos de las cargas dinámicas sobre los cojinetes (P, H) por los diámetros correspondientes de los ejes (D, M).

La potencia perdida debido a la fricción aérea del cilíndro:

N_a = 12·10^-6·ρ_a·R_me·ω²; [kW]

donde:
ρ_a – la densidad del aire, kg/m³;
R_me – el radio externo medio del rotor, m.

Ejemplo nº1
Selección y cálculo de rendimiento de una centrifugadora

Condiciones: Una centrifugadora de precipitación disponible es capaz de desarrollar la velocidad angular ω = 600 rpm en el modo de funcionamiento. El cilíndro tiene los siguientes parámetros: el radio interior R = 300 mm, la longitud L = 500 mm. La centrífuga se utiliza para la clarificación de agua de partículas sólidas suspendidas con el diámetro d_p = 0.5 mm y la densidad ρ_s = 2100 kg/m³. La solución de la tarea necesita tomar una viscosidad dinámica igual a μ = 0.001 Pa·s, y la densidad ρ_l = 1000 kg/m³.

Tarea: Necesitamos calcular el rendimiento Q de la centrifugadora.

Solución: Podemos calcular el valor deseado por la fórmula:

Q = (F·v_g·Fr) / g

El valor v_g es la velocidad de precipitación de partículas en el campo gravitacional, que se puede definir como sigue (g = 9,81 m/s – la aceleración de la gravedad)

V_g = [d_p²·(ρ_s-ρ_l)·g] / [18·μ] = [0.0005²·9.81·(2100-1000)] / [18·0.001] = 0.15 m/s

Se puede calcular la área de precipitación del cilíndro F a partir de sus características geométricas por la fórmula:

F = 2·π·R·L = 2·3.14·0.3·0.5 = 0.942 m2

Fr - el número de Froude que caracteriza la comunicación de velocidades de precipitación de partículas en el campo de fuerzas centrífugas y en el campo gravitatorio:

Fr = (ω²·R) / g = ((600/60)²·0.3) / 9.81 = 30.58

Entonces la velocidad de precipitación de partículas en un campo de fuerza centrífuga es igual a:

v_c = (v_g/g)·Fr = (0.15/9.81)·30.58 = 0.47 m/s

El valor F·Fr se sustituye generalmente por Σ – el índice de rendimiento, que puede ser especificado en función de régimen de precipitación de partículas, que a su vez está determinado por el valor del número de Reynolds:

Re = (ρ_l·v_c·d_p) / μ = (1000·0.47·0.0005) / 0.001 = 235

El valor Re obtenido está en el intervalo 2<Re<500, por lo tanto el régimen de precipitación de los transitorios, para el que la fórmula especificada para el índice de rendimiento, es el siguiente:

Σ = F·Fr^0,73 = 0.942·30.58^0,73 = 11.44

Sustituimos estos datos en la ecuación original y calculamos el valor deseado:

Q = (F·v_g·Fr)/g = (v_g/g)·Σ = (0.15/9.81)·11.44 = 0.17 m³/s.

Respuesta: el rendimiento de la centrifugadora es 0.17 m³/s.

Ejemplo nº2
Cálculo de potencia de arranque de la centrifugadora de filtro

Condiciones: Tenemos una centrifugadora de filtro en la que se produce la separación de suspensión con una densidad ρ_s = 1100 kg/m³. El cilíndro con el peso m_cil = 200 kg tiene un radio interno R = 0.5 m con espesor de pared b = 0.005 m y longitud L = 0.4 m. La carga inicial del cilíndro es 50% de su volumen interno. El tiempo de la centrifugadora para obetener la velocidad de funcionamiento es τ_tr = 7 s. La velocidad angular de la centrifugadora es ω = 1000 rpm. En el cálculo la densidad del aire ρ_a se toma igual a 1.3 kg / m y el coeficiente de fricción en los cojinetes f = 0.05. El muñón del eje tiene un diámetro d_m = 80 mm.

Tarea: Necesitamos calcular la potencia de arranque N_ar.

Solución: La potencia de arranque (N_ar) es la suma de la potencia gastada en las pérdidas de fricción en los cojinetes (N_coj), la potencia gastada en las pérdidas de fricción aérea del cilíndro (N_a) y la potencia para superar la inercia en el inicio (N_i):

N_ar = N_coj+N_a+N_i

Para calcular la potencia consumida por pérdidas de fricción en los cojinetes, utilizamos la fórmula basada en el peso de las partes giratorias de la centrifugadora. Suponemos que solamente el cilíndro y el peso de la suspensión cargada participan en el movimiento de rotación:

N_coj = f·g·M·v_r

M – es el peso total de las partes giratorias de la centrifugadora. Conocemos ya el peso del cilíndro y sólo queda determinar el peso de la suspensión inicialmente cargada. Dado que la carga inicial del cilíndro es 50%, entonces, al calcular su volumen y multiplicar por la densidad, es posible determinar el peso de la suspensión cargada m_s:

M_s = 0.5·2·π·R·L·ρ_s = 0.5·2·3.14·0.5·0.4·1100 = 691 kg

Entonces, el peso total es:

M = m_cil+m_s = 200+691 = 891 kg

Velocidad periférica del muñón v_m se calcula por la fórmula:

V_m = ω·d_m/2 = (1000/60)·(0.08/2) = 0.66 m/s

Calculamos el valor de potencia N_coj:

N_coj = f·g·M·v_r = 0.05·9.81·891·0.66 = 288.4 W

Calculamos el valor de potencia N_a suponiendo que el radio exterior del cilíndro R_ex = R+b:

N_a = 0.012·ρ_a·R_ex·ω² = 0.012·1.3·(0.5+0.005)·(1000/60)² = 2.2 W

Calculamos el valor de potencia N_i, haciendo la suposición de que toda la masa giratoria se concentra en el radio interior R del cilíndro, entonces el momento de inercia total puede representarse como I = M·R²:

N_сi = (I·ω²)/(2·τ_e) = (M·R²·ω²)/(2·τ_e) = (891·0.5²·(1000/60)²)/(2·7) = 4419.6 W

Ahora es posible determinar el valor deseado:

N_ar = N_coj+N_a+N_i = 288.4+2.2+4419.6 = 4710.2 W

Respuesta: La potencia de arranque será 4.71 kW

Cálculo y selección de equipos básicos