Ejemplos de cálculo y selección de ductos

Datos de partida: dentro de una instalación química se desarrolla el bombeo de paraxileno С₆Н₄(СН₃)₂ bajo una temperatura Т de 30°С con un caudal Q de 20 m³/h dentro de un tubo de acero de una longitud L de 30 metros. El paraxileno tiene una densidad ρ de 858 kg/m³ y una viscosidad μ de 0,6 cP. Asumiremos, que la rugosidad absoluta de acero ε equivale a 50 µm.

Datos de partida: Q=20 m³/h; L=30 m; ρ=858 kg/m³; μ=0,6 cP; ε=50 µm; Δp=0,01 MPa; ΔH=1,188 m.

Tarea: determinar el diámetro mínimo del tubo que garantizará un salto de presión inferior a Δp=0,01 MPa (ΔH=1,188 m de paraxileno).

Solución: Como desconocemos la velocidad del flujo v y el diámetro del tubo d, no podemos calcular ni el número de Reynolds Re, ni la rugosidad relativa ɛ/d. Hay que tomar el valor del coeficiente de rozamiento λ y calcular el valor correspondiente del d, utilizando para tal fin la ecuación de perdidas de energía y la ecuación de continuidad. Después calcularemos a base del valor del d el número de Reynolds Re y la rugosidad relativa ɛ/d. Utilizando el diagrama de Moody determinaremos el nuevo valor de f. Utilizando el método de aproximaciones sucesivas, determinaremos el valor de diámetro d.

Utilizando la forma de la ecuación de continuidad v=Q/F y la fórmula de la superficie de flujo F=(π·d²)/4, transformaremos la ecuación de Darcy-Weisbach de la siguiente manera:

∆H = λ · L/d · v²/(2·g) = λ · L/d · Q²/(2·g·F²) = λ · [(L·Q²) / (2·d·g·[(π·d²)/4]²)] = (8·L·Q²)/(g·π²) · λ/d⁵ = (8·30·(20/3600)²)/(9,81·3,14²) · λ/d⁵ = 7,658·10^-5 · λ/d⁵

Después encontraremos el diámetro:

d = ⁵√(7,658·10^-5·λ)/∆H = ⁵√(7,658·10^-5·λ)/10000 = 0,0238·⁵√λ

Utilizando el diámetro d, encontraremos el valor del número de Reynolds:

Re = (ρ·v·d)/μ = (4·ρ·Q)/(π·μ·d) = (4·858·20)/(3,14·3600·0,6·10^-3·d) = 10120/d

Haremos lo mismo con la rugosidad relativa:

ε/d = 0,00005/d

Para la primera etapa de aproximación hay que determinar el valor del coeficiente de rozamiento. Tomaremos el valor medio del λ equivalente a 0,03. Después calcularemos consecutivamente el d, el Re y la ε/d:

d = 0,0238·⁵√λ = 0,0118 m

Re = 10120/d = 857627

ε/d = 0,00005/d = 0,00424

Determinados esos valores, realizaremos la operación inversa y determinaremos a base de la diagrama de Moody el valor del coeficiente de rozamiento λ que equivaldrá a 0,017. Después volveremos a calcular los valores de d, Re y ε/d, pero para un nuevo valor de λ:

d = 0,0238·⁵√λ = 0,0105 m

Re = 10120/d = 963809

ε/d = 0,00005/d = 0,00476

Volveremos a utilizar el diagrama de Moody para obtener el valor precisado del λ, que equivale a 0,0172. El valor obtenido se difiere del obtenido anteriormente en [(0,0172-0,017)/0,0172]·100 = 1,16%, por eso no hay la necesidad de realizar una nueva etapa de aproximaciones. Los valores calculados son correctos. De ahí resulta, que el diámetro mínimo del tubo es de 0,0105 m.

Datos de partida: para la realización de un proceso tecnológico fueron propuestos dos variantes de ductos de diámetro distinto. En el caso de la primera variante, serán utilizados tubos de un diámetro mayor, lo que supone unos gastos de capital mayores C_c1 = 200000 rublos, sin embargo los gastos anuales serán menores y equivaldrán a С_е1 = 30000 rublos. En el caso de la segunda variante serán utilizados tubos de diámetro inferior, lo que reducirá los gastos de capital C_c2 hasta 160000 rublos, pero aumentará los gastos en su mantenimiento técnico anual С_е2 hasta 36000 rublos. Las dos variantes están calculadas para una vida útil n de 10 años.

Datos de partida: C_c1 = 200000 rublos; С_е1 = 30000 rublos; C_c2 = 160000 rublos; С_е2 = 35000 rublos; n = 10 años.

Tarea: hay que escoger la solución económica más rentable.

Solución: la segunda variante parece más rentable gracias a unos gastos de capital reducidos, sin embargo, la primera variante tiene la ventaja de ofrecer unos gastos de explotación reducidos. Aprovecharemos la fórmula de abajo para determinar el plazo de retorno de los gastos de capital adicionales por cuenta de ahorros en mantenimiento.

n_o = (C_c1-С_c2)/(С_e2-С_e1) = (200000-160000)/(35000-30000) = 8 años

De ahí resulta, que en el caso de una vida útil hasta 8 años, la opción más económica será la segunda, ya que supone unos gastos de capital reducidos. Sin embargo, pasados 8 años de explotación, el total de los gastos en los dos proyectos será el mismo y después la variante más ventajosa será la primera.

Ya que la vida útil del ducto será de 10 años, hay que optar por la primera variante.

Datos de partida: se prevé montar dos líneas tecnológicas, dentro de las cuales circulará un líquido no viscoso. Los caudales correspondientes serán: Q₁ equivalente a 20 m³/hora y Q₂ equivalente a 30 m³/hora. Para facilitar el montaje y el mantenimiento de las dos líneas fue tomada la decisión de utilizar para las dos líneas tubos del mismo diámetro.

Datos de partida: Q₁ = 20 m³/hora; Q₂ = 30 m³/hora.

Tarea: hay que determinar el diámetro de tubo d correspondiente.

Solución: como no se dan ningunos requisitos complementarios hacia los ductos, el criterio de conformidad principal será la posibilidad de bombear el líquido, manteniendo el caudal necesario. Aprovecharemos las tablas de las velocidades óptimas para los líquidos no viscosos en líneas de bombeo y veremos, que el rango buscado es de 1,5 a 3 m/s.

A base de ello determinaremos para cada caudal el rango de diámetros óptimo correspondiente a las velocidades óptimas y determinaremos la zona en la que se solapan. Los diámetros de los tubos de esta zona responderán a los requisitos de aplicabilidad para los caudales enumerados.

Determinaremos el rango de diámetros óptimos para el caudal Q₁ equivalente a 20 m³/h, utilizando para determinar el diámetro del tubo la fórmula de caudal:

Q = [(π·d²)/4] · v

De ahí:

d = √(4·Q)/(π·v)

Utilizaremos los valores mínimo y máximo de la velocidad óptima:

d_1min = √(4·20)/(3600·3,14·1,5) = 0,069 m

d_1max = √(4·20)/(3600·3,14·3) = 0,049 m

Es decir para una línea con un caudal de 20 m³/h servirán tubos de un diámetro de 49 a 69 mm.

Determinaremos el rango de diámetros óptimos para el caudal Q₂ equivalente a 30 m³/h:

d_2min = √(4·30)/(3600·3,14·1,5) = 0,084 m

d_2max = √(4·30)/(3600·3,14·3) = 0,059 m

Vemos, que en el primer caso el rango de diámetros óptimos es de 49 a 69 mm., en el segundo de los casos es de 59 a 84 mm. La intersección de esos dos rangos da el rango de valores buscado. Resulta que podemos utilizar para las dos líneas los tubos de un diámetro de 59 a 69 mm.

Datos de partida: tenemos un ducto de un diámetro de 0,2 metros por el cual fluye un flujo de agua de un caudal de 90 m³/h. La temperatura del agua t equivale a 20 ºC, la viscosidad dinámica bajo esa temperatura es de 1·10^-3 Pa·s, la densidad equivale a 998 kg/m³.

Datos de partida: d = 0,2 m; Q = 90 m³/hora; μ = 1·10^-3; ρ = 998 kg/m³.

Tarea: hay que determinar el régimen de flujo de agua dentro del tubo.

Solución: para determinar el régimen de flujo podemos utilizar el número de Reynolds (Re). Para calcular el número de Reynolds hay que determinar la velocidad del flujo de agua en el tubo (v). Para calcular el valor de v se puede utilizar la ecuación de caudal para un tubo de sección redonda:

Q = v·(π·d²)/4

de ahí:

v = Q·4/(π·d²) = [90/3600] · [4/(3,14·0,2²)] = 0,8 m/s

Utilizando el valor de la velocidad de flujo determinado, calcularemos el número de Reynolds correspondiente:

Re = (ρ·v·d)/μ = (998·0,8·0,2) / (1·10^-3) = 159680

El valor crítico del número de Reynolds Re_cr para los tubos de sección redonda es de 2300. El valor del número de Reynolds está por encima del valor crítico (159680 > 2300), eso significa, que el régimen del flujo es turbulento.

Datos de partida: por un canal inclinado de sección rectangular de una anchura w equivalente a 500 mm y una altura h de 300 mm fluye el agua, la distancia entre la superficie del agua y el tope del canal a equivale a 50 mm. El caudal de agua Q es de 200 m³/h. Asumiremos para los cálculos que la densidad del agua ρ equivale a 1000 kg/m³, y la viscosidad dinámica μ equivale a 1·10^-3 Pa·s.

Datos de partida: w = 500 mm; h = 300 mm; l = 5000 mm; a = 50 mm; Q = 200 m³/h; ρ = 1000 kg/m³; μ = 1·10^-3 Pa·s.

Tarea: determinar el valor del número de Reynolds.

Solución: como en este caso el flujo de líquido se desarrolla a lo largo de un canal rectangular en vez de un tubo redondo, para realizar los cálculos pertinentes es necesario determinar el diámetro equivalente del canal. En el caso general se calcula según la fórmula:

d_e = (4·F_l)/P_m

donde:
F_l – es la superficie de la sección transversal del flujo de líquido;
P_m – es el perímetro mojado.

La anchura del flujo de líquido evidentemente coincide con la anchura del canal w, la altura del flujo de líquido equivaldrá a h-a mm. Como resultado obtendremos:

P_m = w+2·(h-a) = 0,5+2·(0,3-0,05) = 1 m

F_l = w·(h-a) = 0,5·(0,3-0,05) = 0,125 m²

Ahora podemos determinar el diámetro equivalente del flujo de líquido:

d_e = (4·F_l)/P_m = (4·0,125)/1 = 0,5 m

Después utilizaremos la fórmula de caudal expresado a través de la velocidad del flujo y su superficie de sección transversal y encontraremos la velocidad del flujo:

Q = v·F_l m/s

v = Q/F_l = 200/(3600·0,125) = 0,45

Los valores determinados permiten aprovechar la fórmula para calcular el número de Reynolds:

Re = (ρ·v·d_e)/μ = (1000·0,45·0,5) / (1·10^-3) = 225000

Datos de partida: una bomba bombea el agua por un ducto de sección redonda mostrado en la figura hacia el consumidor final. El caudal de agua Q es de 7 m³/h. El diámetro del tubo d equivale a 50 mm, la rugosidad absoluta Δ es de 0,2 mm. Asumiremos para los cálculos, que el valor de la densidad del agua ρ equivale a 1000 kg/m³, el valor de la viscosidad dinámica μ equivale a 1·10^-3 Pa·s.

Datos de partida: Q = 7 m³/h; d = 120 mm; Δ = 0,2 mm; ρ = 1000 kg/m³; μ = 1·10^-3Pa·s.

Tarea: calcular el valor de pérdida de presión en el ducto (H_pt)

Solución: primero determinaremos la velocidad de flujo en el ducto, utilizando para este fin la fórmula de caudal de líquido:

v = (4·Q) / (π·d²) = [(4·7)/(3,14·0,05²)] · 1/3600 = 1 m/s

Determinada la velocidad podemos determinar el valor del número de Reynolds para este flujo:

Re = (w·d·ρ)/μ = (1·0,05·1000) / (1·10^-3) = 50000

El total de las pérdidas de presión está compuesto por las pérdidas por fricción en el curso de flujo de líquido por el tubo (H_f) y las pérdidas de presión en las resistencias locales (H_rl).

Las pérdidas por fricción pueden ser calculadas a base de la siguiente fórmula:

H_f = [(λ·l)/d_e] · [v²/(2·g)]

donde:
λ – es el coeficiente de rozamiento;
L – es la longitud total de ducto;
[v²/(2·g)] – es la presión de velocidad del flujo.

Encontraremos la presión de velocidad del flujo:

v²/(2·g) = 1²/(2·9,81) = 0,051 m

Para determinar el valor del coeficiente de rozamiento hay que escoger una fórmula de cálculo correcto, lo que depende del valor del número de Reynolds. Para ello determinaremos el valor de la rugosidad relativa del tubo según la fórmula:

e = Δ/d = 0,2/50 = 0,004

Después calcularemos dos valores adicionales:

10/e = 10/0,004 = 2500

El valor del número de Reynolds encontrado se encuentra dentro del rango 10/e < Re < 560/e, por eso necesitamos utilizar la siguiente fórmula de cálculo:

λ = 0,11·(e+68/Re)^0,25 = 0,11·(0,004+68/50000)^0,25 = 0,03

Ahora podemos determinar el valor de la pérdida de presión por fricción:

H_f = [(λ·l)/d] · [v²/(2·g)] = [(0,03·30)/0,05] · 0,051 = 0,918 m

El total de las pérdidas de presión en las resistencias locales está compuesto por las pérdidas de presión en cada una de las resistencias locales. En el caso de este ducto dichas resistencias son: dos turnos y una válvula regular. Se calcula según la fórmula:

∑ζrl·[v²/(2·g)]

donde ζ – es el factor de resistencia local.

Como dentro de los valores de la tabla de factores de presión no hay valores para los tubos de un diámetro de 50 mm., para determinarlos habrá que utilizar el método de cálculo aproximado. El factor de resistencia (ζ) para una válvula regular de un tubo de un diámetro de 40 mm. es de 4,9, para un tubo de 80 mm equivale a 4. Asumiremos, que los valores intermedios entre esos dos valores forman una línea recta, es decir, su cambio se describe por la fórmula ζ = a·d+b, donde a y b son factores de la ecuación de una línea recta. Haremos y resolveremos un sistema de ecuaciones:

La ecuación final es la siguiente:

ζa = -0,0225/Re 5,8 = -0,0225/505,8 = 4,675

En el caso del factor de resistencia para el codo de 90º del tubo de 50 mm de diámetro, este tipo de cálculo aproximado no es necesario, ya que al diámetro de 50 mm le corresponde el valor de factor de 1,1.

Calcularemos las pérdidas totales en las resistencias locales:

H_rl = ∑ζ_rl ·[v²/(2·g)] = 0,051·(2·1,1+4,671) = 0,35 m

De ahí el total de las pérdidas de presión será:

H_pt = H_f+H_rl = 0,918+0,35 = 1,268 m

m. Debido a la falta de tubo del mismo diámetro, en vez del tubo afectado fue instalado un tubo de diámetro interno d₂ equivalente a 0,45 m. La rugosidad absoluta del tubo del diámetro de 0,5 metros Δ₁ equivale a 0,45 mm, la del tubo del diámetro de 0,45 mm Δ₂ es de 0,2 mm.  Asumiremos para los cálculos que el valor de la densidad del agua ρ equivale a 1000 kg/m³ y el valor de la viscosidad dinámica μ es de 1·10^-3 Pa·s.

Datos de partida: d₁ = 0,5 m; d₂ = 0,45 m; L = 25 m; v₁ = 2 m/s; Δ₁ = 0,45 mm; Δ₂ = 0,2 mm; ρ = 1000 kg/m³; μ = 1·10^-3 Pa·s.

Tarea: hay que determinar, como cambiará la resistencia hidráulica total del ducto.

Solución: сomo el resto del ducto no fue modificado, su resistencia hidráulica tampoco fue afectada por las obras, por eso para resolver esta tarea bastará con comparar la resistencia hidráulica de los tramos antiguo y nuevo del ducto.

Calcularemos la resistencia hidráulica del tramo del ducto sustituido (H₁). Ya que no hay ningún tipo de resistencias locales, bastará con determinar el valor de las pérdidas por fricción (H_f1):

H_f1 = [(λ₁·l)/d₁] · [(v₁²)/(2·g)]

donde:
λ₁ – es el factor de resistencia hidráulica del tramo sustituido;
g – es la aceleración de la gravedad.

Para determinar el λ hay que determinar previamente la rugosidad relativa (e₁) del tubo y el número de Reynolds (Re₁):

e₁ = Δ₁/d₁ = 0,45/500 = 0,0009

Re₁ = (v₁·d₁·ρ)/μ = (2·0,5·1000)/(1·10^-3) = 1000000

Realizaremos la selección de la fórmula de cálculo para λ₁:

10/e₁ = 10/0,0009 = 11111

560/e₁ = 560/0,0009 = 622222

Ya que el valor de Re₁ determinado > 560/e_1, el λ₁ será calculado según la fórmula siguiente:

λ₁ = 0,11·e₁^0,25 = 0,11·0,0009^0,25 = 0,019

Ahora podemos determinar la pérdida de presión en el tramo de tubo sustituido:

H₁ = H_f1 = (λ₁·l)/d₁ ·[(v₁²)/(2·g)] = (0,019·25)/0,5·2²/(2·9,81) = 0,194 m

Calcularemos la resistencia hidráulica del tramo de tubo nuevo (H₂). En este caso en dicho tramo aparte de las pérdidas de presión por fricción (H_f2) se generan también unas pérdidas de presión por resistencias locales (H_rl2): estrechamiento fuerte del ducto en la entrada en el tramo sustituido y ensanchamiento fuerte en la salida de dicho tramo.

Primero determinaremos el valor de la pérdida de presión por fricción en el nuevo tramo del ducto. Ya que el diámetro se ha reducido y el caudal sigue el mismo, hay que encontrar nuevo valor de velocidad de flujo v₂. Para encontrar el valor buscado, utilizaremos la ecuación de caudales calculados para el tramo sustituido y el tramo nuevo.

v₁·(π·d₁²)/4 = v₂·(π·d₂²)/4

de ahí:

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(500/450)² = 2,47 m/s

El número de Reynolds para el flujo de agua en el tramo nuevo.

Re₂ = (v₂·d₂·ρ)/μ = (2,47·0,45·1000)/(1·10^-3) = 1111500

Determinaremos la rugosidad relativa para el tramo de tubo de 450 mm de diámetro y escogeremos la fórmula de cálculo de coeficiente de rozamiento:

e₂ = Δ₂/d₂ = 0,2/450 = 0,00044

10/e₂ = 10/0,00044 = 22727

560/e₂ = 560/0,00044 = 1272727

El valor de Re₂ obtenido se encuentra en el rango entre 10/e₁ y 560/e₁ (22 727 < 1 111 500 < 1 272 727), por eso utilizaremos para el cálculo de λ₂ la siguiente fórmula:

λ₂ = 0,11·(e₂+68/Re₂)^0,25 = 0,11·(0,00044+68/1111500)^0,25 = 0,0165

Basándonos en los resultados de los cálculos podemos calcular las pérdidas por fricción en el tramo nuevo.

H_f2 = [(λ₂·l)/d₂] · [(v₂²)/(2·g)] = [(0,0165·25)/0,45] · [2,47²/(2·9,81)] = 0,285 m

Las pérdidas de presión en las resistencias locales están formadas por las pérdidas en la entrada en el tramo sustituido (estrechamiento fuerte de canal) y en la salida de este (ensanchamiento fuerte de canal). Encontraremos la relación de superficies entre los tramos sustituido y nuevo.

F₂/F₁ = (d₂²)/(d₁²) = (0,45/0,5)² = 0,81

Escogeremos los factores de resistencia local según la tabla: ζ_esf = 0,1 para el estrechamiento fuerte; ζ_enf = 0,04 para el ensanchamiento fuerte. Utilizando esos datos, calcularemos las pérdidas de presión en las resistencias locales.

H_rl2 = ∑ζ_rl · [v²/(2·g)] = [ζ_esf·(v₁²)/(2·g)] + [ζ_enf·(v₂²)/(2·g)] = [0,1·2²/(2·9,81)] + [0,04·2,47²/(2·9,81)] = 0,032 m

De ahí resulta que, la caída de presión total en el tramo sustituido es:

H₂ = H_f2+H_rl2 = 0,285+0,032 = 0,317 m

Sabiendo las pérdidas de presión en los tramos sustituido y nuevo, determinaremos el valor de las pérdidas:

∆H = 0,317-0,194 = 0,123 m

Vemos, que sustituido el tramo, las pérdidas de presión totales se aumentaron en 0,123 m.

Compresores y sopladores

Cálculo y selección de equipos básicos